Biblioteca da Escola Básica e Secundária

Matemática

O que vamos ler

A matemática das coisas,
Nuno Crato

Este é um livro de histórias matemáticas. São histórias de vilões que procuram roubar segredos, de heróis que codificam as suas mensagens, de matemáticos que passam séculos à procura da melhor forma de empilhar laranjas. São também histórias de confusões nas autoestradas por não se seguirem regras da geometria cartesiana, de trapalhadas nos trocos por se ignorarem paradoxos antigos, de erros nos calendários por se desconhecerem boas regras de aproximação numérica. É a matemática em ação, contada de forma que todos a entendam.

Os estranhos mundos de Escher

Mauritus Cornelis Escher nasceu nos Países Baixos, em 1898, e faleceu em 1970, após uma vida dedicada a produzir as gravuras mais intrigantes e matematicamente sofisticadas que um artista alguma vez produziu.

O jovem Mauritus teve uma infância banal. Não se destacou na escola e mostrou sempre pouco interesse pelos estudos. Por pressão familiar, começou a estudar arquitetura. Foi na Escola de Belas-Artes que encontrou um professor de artes gráficas que haveria de mudar a sua vida. Esse professor, um judeu de origem portuguesa chamado Jesserum de Mesquita, ensinou-lhe as técnicas de desenho e despertou-lhe o interesse pela gravura. Mauritus Escher abandonou o curso de arquitetura e mudou para o ramo gráfico, terminando os estudos sob a orientação de Mesquita.

Acabada a sua aprendizagem, o jovem Escher decidiu ver o mundo. Passou férias em Espanha e Itália, onde conheceu a sua futura mulher, e fixou-se em Roma, vivendo sempre do seu trabalho gráfico. Quando o clima político em Itália se tornou insuportável, mudou-se para a Suíça e depois para a Bélgica. Regressou à Holanda em 1941, onde haveria de viver o resto da vida.

Numa das suas viagens a Espanha, visitou Granada e entrou em contacto com os azulejos mouros e os intrincados temas que se repetem na arte árabe. A partir daí, desenvolveu a sua paixão pelas chamadas pavimentações, a divisão do plano em figuras geométricas, com um motivo que se repete, se reflete, se desloca e roda.

Os trabalhos de Escher são muito variados e mostram o seu fascínio com diversos problemas da representação bidimensional. Uma das preocupações centrais de Escher é a ilusão de uma visão a três dimensões numa gravura plana. O que lhe interessava, sobretudo, era o conflito das perspetivas.

A gravura Mãos a Desenhar, de 1948, na qual uma mão desenha uma mão, que desenha a mão, revela um dos problemas-base da modernidade. William Everdell considera que o começo do século XX foi marcado pelo paradoxo do matemático, lógico e filósofo Bertrand Russell (1872-1970) do barbeiro que se barbeia a si próprio. Perguntava Russell: «quem barbeia um barbeiro que barbeia toda a gente que não se barbeia a si própria?» Qualquer que seja a resposta, entra em contradição com o enunciado da pergunta. Com base neste simples paradoxo, Russell destruiu os esforços de Gottlob Frege (1848-1925) e de gerações de matemáticos para construir uma lógica perfeita e autorreferenciada. Foi a partir de paradoxos semelhantes que Kurt Côdel (1906-1978) mostrou que os esforços de gerações de matemáticos do dobrar do século, nomeadamente David Hilbert (1862-1943), para basear a matemática numa lógica perfeita e completa estavam destinados ao fracasso. A mão que desenha uma mão que a desenha não pode ser uma mão verdadeira.

Outro exemplo interessante do estranho mundo de Escher é-nos fornecido pela gravura Relatividade, de 1953. Aí aparecem três mundos completamente diferentes, mas unidos num mesmo desenho. Em cada um dos grupos a perspetiva é coerente, criando um mundo próprio. Mas o teto de um dos mundos é uma parede de um outro. Na junção de mundos, o que para um é uma porta para outro é um alçapão. Duas das escadas centrais podem ser utilizadas dos dois lados — têm um mundo de um lado e outro do outro.

Cada um dos mundos tem a sua gravidade própria, e cada uma atua na sua direção. Um dos mais interessantes efeitos de surpresa desta gravura é introduzido pelas pessoas, que parecem passear-se por mundos que não são os seus. O homem com o saco às costas, no centro da figura, pertence ao mundo da esquerda, aquele em que a gravidade atrai da esquerda para a direita. Parece passear-se por outros mundos. No entanto, tudo para ele é coerente e poderá atingir o jardim do canto superior direito. Basta-lhe virar à direita e subir depois as escadas. Nessas escadas, as do topo da figura, aparecem dois homens de mundos diferentes.

Bruno Ernst, um dos estudiosos de Escher, sugere que um estudo desta gravura pode ser útil para os astronautas em situações de ausência de gravidade. Eles deverão habituar-se a utilizar qualquer dos planos de referência dos seus compartimentos. E podem cruzar-se uns com os outros, movendo-se em direções perpendiculares. No espaço, poderão encontrar os estranhos mundos de Escher.

CRATO, Nuno - A matemática das coisas. Lisboa: Gradiva, 2008.